درسنامه آموزشی فيزيک (1) کلاس دهم رشته رياضی
فصل 5: ترمودینامیک
در موتور خودروها، از واکنش شیمیایی اکسیژن با بخار بنزین در سیلندرها، انرژی گرمایی تولید میشود. گاز داغ شده، پیستونها را درون سیلندرها میفشارد و کار مکانیکی انجام میدهد و این کار باعث جابهجایی خودرو میشود. موتور خودروها، هواپیماها، قطارها، کشتیها و نیروگاههای تولید برق براساس اصول ترمودینامیک طراحی و ساخته میشوند. مطالعهٔ ترمودینامیک در قرن نوزدهم آغاز شده است. مهندسان طراح ماشینهای گرمایی میخواستند بدانند قوانین فیزیک چه محدودیتهایی در عملکرد ماشینهای بخار و ماشینهای دیگری که با استفاده از انرژی گرمایی، انرژی مکانیکی تولید میکنند، به وجود میآورند.
در ترمودینامیک به مطالعهٔ رابطهٔ بین گرما و کار و تبدیل گرما به کار مکانیکی میپردازیم. پایستگی انرژی و این واقعیت که گرما خود به خود از جسم سرد به جسم داغ منتقل نمیشود، بخشی از مبانی دانش ترمودینامیک را تشکیل میدهند.
در این علم، فرایندهای فیزیکی به وسیلهٔ گروهی از کمیتهای مشاهده پذیر یا ماکروسکوپی که حتماً شامل دماست، توصیف میشود. مثلاً مهندسی که رفتار گازهای احتراقی در موتور یک خودرو را بررسی میکند، به کمک کمیتهایی مانند دما، فشار، حجم، گرمای ویژه و… رفتار گاز را توضیح میدهد، بدون آنکه درگیر جزئیات رفتار تک تک مولکولهای گاز شود. از این منظر بسیاری از مطالبی که در فصل پیش خواندیم در محدودهٔ علم ترمودینامیک میگنجد.
در ترمودینامیک تحولات جسم خاصی را در نظر میگیریم که معمولاً به شکل گاز یا مایع است و با محیط پیرامون خود گرما و کار مبادله میکند. این جسم را دستگاه و اجسام پیرامون دستگاه را که میتوانند با آن تبادل انرژی داشته باشند، محیط مینامیم. مثلاً در موتور خودرو، مخلوط هوا و بخار بنزین دستگاه نامیده میشود، در یخچال خانگی، گازی که در لولههای فلزی درون و بیرون یخچال جریان دارد و گرما را از درون یخچال به بیرون منتقل میکند، دستگاه نامیده میشود. همچنین آبی که در یک کتری برقی قرار میگیرد و به آن گرما داده میشود تا به بخار تبدیل شود را میتوان دستگاه درنظر گرفت (شکل 5-1). در این بررسی، کتری، سیم گرمکن آن و هوا، اجزای محیط هستند.
به طور ساده، منظور از دستگاه بخش مشخصی از مادّه است که تحولات و مبادلهٔ انرژی بین آن و محیط پیرامون بررسی میشود. دستگاه میتواند مقدار مشخصی آب ، کلّ جوّ زمین یا حتی بدن یک موجود زنده باشد. نکتهٔ مهم آن است که بتوانیم مشخص کنیم چه مادهای دستگاه و چه مادهای محیط است. گسترهٔ ترمودینامیک فراتر از پدیدههای گرمایی مربوط به گازهاست، ولی در این کتاب، بیشتر خود را به بررسی ترمودینامیک گازهای در حالت تعادل محدود میکنیم.
1-5 معادلۀ حالت و فرآیندهای ترمودینامیکی ایستاوار
مقدار معینی گاز را مطابق شکل 5-2 در داخل یک استوانه در نظر بگیرید که با پیستونی بدون اصطکاک مسدود شده است. پیستون میتواند درون استوانه حرکت کند (در اینجا دستگاه مورد بررسی، گاز است). اگر پیستون برای مدتی طولانی در وضعیت 1 (با حجم ${V_1}$) نگه داشته شده باشد، دما و فشار آن در همهٔ نقاط گاز یکسان خواهد بود؛ مثلاً برابر با ${T_1}$ و ${P_1}$ در چنین وضعیتهایی میگوییم گاز در حالت تعادل ترمودینامیکی است.
از کمیتهای V ،P و T برای توصیف حالت تعادل ترمودینامیکی گاز استفاده میکنیم. این کمیتهای ماکروسکوپی را که حالت تعادل با آنها توصیف میشود، متغیرهای ترمودینامیکی گاز مینامیم. در حالت تعادل، متغیرهای ترمودینامیکی گاز، یک تک مقدار مشخص را دارند؛ مثلاً هنگامی که گاز درون استوانهای در وضعیت شکل 5-2-الف قرار دارد این کمیتها مقدارهای ${P_1}$ و ${V_1}$ و ${T_1}$ را دارند.
حال اگر گاز را به سرعت گرم یا سرد کنیم، یا پیستون را به سرعت جا به جا کنیم، نقاط مختلف گاز فشار یکسان و نیز دمای یکسانی نخواهند داشت. بنابراین، باید منتظر ماند تا پس از مدتی فشار و دما در همهٔ نقاط گاز به مقادیر جدید دیگری چون ${P_2}$ و ${T_2}$ برسد. به عبارت دیگر، اکنون متغیرهای ترمودینامیکی دستگاه دارای مقادیر ${P_2}$ و ${V_2}$ و ${T_2}$ هستند (شکل 5-2- ب). خلاصه اینکه یک دستگاه ترمودینامیکی در صورتی در حالت تعادل ترمودینامیکی است که متغیرهای ترمودینامیکی آن به طور خودبه خودی تغییر نکند.
متغیرهای ترمودینامیکی مستقل از یکدیگر نیستند و با هم رابطه دارند. رابطهٔ بین متغیرهای ترمودینامیکی را معادلهٔ حالت مینامند. اگر گاز آرمانی (کامل) باشد، معادلهٔ حالت آن ساده و مستقل از نوع گاز است و با قانون گازآرمانی (معادلهٔ 4-16)، یعنی $PV=nRT$ داده میشود.
دیدیم حالت تعادل یک دستگاه را میتوان برحسب متغیرهای ترمودینامیکی $P$ و $V$ و $T$ بیان کرد. همچنین دیدیم در اثر گرم شدن گاز یا جابهجا شدن پیستون، حالت تعادل گاز تغییر میکند. هنگامی که دستگاه از یک حالت تعادل به حالت تعادل دیگر میرود، میگوییم یک فرایند ترمودینامیکی انجام شده است.
اگر گرمای داده شده به دستگاه بسیار کوچک باشد، فرایند گرمادهی را میتوان مانند شکل 5-3 رسم کرد. در طول این فرایند، دستگاه همواره بسیار نزدیک به حالت تعادل بوده و سریع به تعادل میرسد. چنین فرایندی را فرایند ایستاوار (quasi -static) مینامند. در ادامهٔ این فصل، فرایندهای مورد بررسی عمدتاً ایستاوار در نظر گرفته میشوند. برای رسم نمودارهای ایستاوار، چند نقطهٔ تعادلی را تعیین کرده و با وصل کردن آنها به یکدیگر نمودار ترمودینامیکی را رسم میکنیم.
5-2 تبادل انرژی
تبادل انرژی بین محیط و دستگاه از دو طریق گرما و کار صورت میگیرد و معمولاً فرض میشود که دستگاه در حین تبادل گرما، در تماس با یک منبع گرما (heat reservoir) است.
الف) گرما: در فصل 4 دیدیم گرما انرژیای است که به سبب اختلاف دما، بین دو جسم مبادله میشود. محیط و دستگاه نیز هنگامی مبادلهٔ گرما دارند که با هم اختلاف دما داشته باشند. بنا به قرارداد، گرمایی را که دستگاه میگیرد، با علامت مثبت، و گرمایی را که دستگاه از دست میدهد، با علامت منفی نشان میدهیم. در ترمودینامیک دستگاه با یک منبع گرما مبادلهٔ گرما میکند که در ادامه، آن را معرفی میکنیم.
منبع گرما: هرگاه یک استکان چای داغ یا یک قطعه یخ را در هوای اتاق بگذاریم، پس از مدتی چای خنک شده و یخ ذوب میشود و دمایشان با دمای هوا برابر میشود، بیآنکه دمای هوای اتاق تغییر محسوسی کند. در این مثال، هوای اتاق را برای چای یا قطعه یخ، اصطلاحاً منبع گرما میگویند. در حالت کلی، یک منبع گرما جسمی است که جرم آن در مقابل جرم دستگاهی که با آن تبادل گرما دارد، چنان بزرگ است که میتواند مقدار زیادی گرما بگیرد، یا از دست بدهد، بیآنکه تغییر دمای محسوسی بکند. در عمل (در آزمایشگاه)، منبع گرما میتواند وسیلهای باشد که تنظیم دمای آن توسط آزمایشگر صورت میگیرد و میتواند به دستگاه گرما بدهد، یا از آن گرما بگیرد.
ب) کار: شکل 5-4 گازی را درون یک استوانه نشان میدهد. اگر گاز را کمی گرم کنیم، گاز منبسط میشود و پیستون که اصطکاک ناچیزی دارد به سمت چپ جابهجا میگردد. در این جابهجایی نیروی $\overrightarrow{F}$ که گاز به پیستون وارد میکند، کار انجام میدهد. مقدار این کار برابر با حاصل ضرب بزرگی نیروی $\overrightarrow{F}$ در اندازهٔ جابهجایی پیستون است. در این فرایند پیستون نیز روی گاز کار انجام میدهد که در بخشهای بعد محاسبهٔ آن را خواهیم آموخت.
5-3 انرژی درونی و قانون اوّل ترمودینامیک
انرژی درونی یک ماده با مجموع انرژیهای اجزای تشکیل دهندهٔ آن ماده برابر است. به طور دقیق تر، میتوان گفت که انرژی درونی ماده که آن را با U نشان میدهیم، با مجموع انرژیهای جنبشی و پتانسیل ذرههای آن ماده برابر است. هنگامی که دستگاه در حالت معینی قرار دارد، مقدار U مشخص است. این مقدار به متغیرهای ترمودینامیکی مانند P و T بستگی دارد. در مورد گاز آرمانی میتوان نشان داد که انرژی درونی فقط تابع دمای گاز است، به طوری که با افزایش دما انرژی درونی گاز افزایش مییابد. هنگامی که دستگاه در یک فرایند ترمودینامیکی ایستاوار با مبادلهٔ کار، گرما، یا هر دو با محیط از حالت اولیهٔ (1) با انرژی درونی $U_1$ به حالت نهایی (2) با انرژی درونی $U_2$ برسد، تغییر انرژی درونی، یعنی $\Delta U={{U}_{2}}-{{U}_{1}}$ به گرما و کار مبادله شده بین دستگاه و محیط بستگی دارد.
اگر دستگاه در فرایندی ایستاوار، گرمای Q را بگیرد و کار W بر روی آن انجام شود (شکل 5-5)، این بستگی با رابطهٔ زیر نشان داده میشود:
که به آن قانون اوّل ترمودینامیک گویند و بیانگر قانون پایستگی انرژی است. توجه کنید که در فرایندهای مختلفی که برای مقدار معینی از یک گاز رخ میدهد و از حالت اولیهٔ یکسان ($T_1$ و $V_1$ و $P_1$) آغاز میشوند و به حالت نهایی یکسان ($T_2$ و $V_2$ و $P_2$) میرسند، تغییر انرژی درونی گاز $(\Delta U)$ برابر است، ولی کار و نیز گرمای مبادله شده در این فرایندها می توانند متفاوت باشند.
در رابطهٔ 5-1، گرمای Q میتواند مثبت (دستگاه گرما بگیرد) یا منفی (دستگاه گرما از دست بدهد) باشد. W نیز میتواند مثبت (محیط روی دستگاه کار انجام دهد) یا منفی (دستگاه روی محیط کار انجام دهد) باشد. بنابراین، هنگامی که دستگاه با محیط تبادل کار و گرما دارد، ممکن است انرژی درونی آن افزایش $(\Delta U \gt 0)$، یا کاهش $(\Delta U \lt 0)$ یابد یا اینکه تغییر نکند $(\Delta U=0)$.
خوب است بدانید: سوخت و ساز بدن و قانون اوّل ترمودینامیک
وقتی غذا میخوریم انرژی شیمیایی ذخیره شده در مواد غذایی به بدن ما انتقال مییابد. از طرفی وقتی فعالیتی انجام میدهیم انرژی درونی بدن کاهش مییابد و طبق قانون اول ترمودینامیک به کار و گرما تبدیل میشود. بنا به تعریف، آهنگ سوخت و ساز بدن، آهنگ تبدیل انرژی شیمیایی موادغذایی جذب شده و اکسیژن به انرژی درونی بدن برای جبران کاهش انرژی درونی است و معمولا برحسب کیلوکالری بر ساعت ($kca/h$) یا برحسب وات بیان میشود. جدول زیر آهنگ سوخت و ساز بدن را در برخی از فعالیتها برای شخصی به جرم متوسط 65kg نشان میدهد.
| نوع فعالیت | آهنگ تقریبی سوختوساز | |
| kcal/h | Watt | |
| خوابیدن | 60 | 70 |
| نشستن | 100 | 115 |
| فعالیتهای سبک (خوردن، لباس پوشیدن و...) | 200 | 230 |
| فعالیتهای متوسط (تنیس، راه رفتن و...) | 400 | 460 |
| دویدن (15km/h) | 1000 | 1150 |
| دوچرخه سواریِ سرعت | 1100 | 1270 |
کنت رامفورد
با نام اصلی بنیامین تامپسون در سال 1753 میلادی در ماساچوست آمریکا، که آن زمان مستعمرهٔ انگلستان بود، به دنیا آمد. نخست به ارتش پیوست و در این دوران شروع به آزمایشهایی با باروت کرد و در قدرت مواد منفجره سلاحهای جنگی تغییرات چشمگیری به وجود آورد و به همین خاطر به عضویت انجمن سلطنتی برگزیده شد. چندی نگذشت که به مقامهای وزارت جنگ، وزارت کشور و خزانه داری نائل آمد. در ژانویه سال 1798 در انجمن سلطنتی لندن سخنرانای درباره «ایجاد گرما بر اثر مالش» ایراد کرد که بسیار مورد توجه دانشمندان قرار گرفت. این سخنرانی جالب نتیجه مشاهداتی بود که سالها پیش روی توپ جنگی انجام داده بود. کنت رامفورد اکتشافات و مشاهدات خود را در کتابی تحت عنوان «روشهای انتقال گرما» چاپ و منتشر کرد و ثابت نمود نظریهٔ لاوازیه در مورد وجود شارهای به نام کالریک، به عنوان عامل انتقال انرژی گرمایی نادرست است. رامفورد، یک مؤسسه علمی در لندن دایر کرد و هدف او از تأسیس این سازمان، تشویق مردم برای پژوهشهای علمی بود. کارهایی که در این مؤسسه انجام میشد اکثراً عملی بود و گاهی نتایجی به دست میآمد که نشان میداد تجربیات عملی همواره از مطالعات نظری ناشی میگردد. بنیامین تامپسون در سال 1814 دیده از جهان فروبست. او نابغه و تجربهگر ماهری بود و برای نخستین بار اصول علم ترمودینامیک را بنا نهاد.
4-5 برخی از فرایندهای ترمودینامیکی
همانطور که گفتیم دستگاههای ترمودینامیکی میتوانند فرایندهای مختلفی را طی کنند. در بین این فرایندها، فرایندهای خاصی وجود دارد که کاربرد آنها وسیعتر است؛ از جمله: فرایند هم حجم، فرایند هم فشار، فرایند هم دما و فرایند بیدررو. در ادامه به توصیف این فرایندها میپردازیم.
الف) فرایند هم حجم: حجم گاز طی این فرایند ثابت میماند و بنابراین کاری انجام نمیشود. در این فرایند، گاز با محیط فقط تبادل گرما میکند و تغییر انرژی درونی گاز برابر با گرمایی است که با محیط (منبع گرما) مبادله میکند.
$\Delta U=Q+W=Q+0=Q$
برای بررسی این فرایند، گاز را در تماس با منبع گرمایی با دمای قابل تنظیم قرار میدهیم (شکل 5-6) طوری که دمای اولیهٔ منبع و گاز برابر باشد. دمای منبع را به آرامی و به تدریج تغییر میدهیم تا گاز طی یک فرایند ایستاوار، با گذار از حالتهای تعادلی به حالت نهایی مورد نظر برسد.
در شکل 5-7 نمودارهای V-T و P-V برای گرم کردن هم حجم یک گاز نشان داده شده است. در این فرایند دما و فشار گاز در حجم ثابت، بالا میرود. اگر در این مثال، گاز به صورت هم حجم گرما از دست بدهد، جهت پیکانهای نمودارهای شکل 5-7 وارونه میشود.
مثال 5-2
نشان دهید نمودار P-T برای فرایند همحجم یک گاز آرمانی خط راستی است که امتداد آن از مبدأ مختصات صفحهٔ P-T میگذرد.
پاسخ: چون گاز آرمانی است با استفاده از معادلهٔ حالت گاز آرمانی داریم:
$P=\left( \frac{nR}{V} \right)T$
چون ($nR/V$) ثابت است، رابطهٔ بالا معادلهٔ یک خط راست است که امتداد آن از مبدأ مختصات میگذرد (شبیه خط $y=ax$ در صفحه $y-x$). با نقطه گذاری نیز میتوان نمودار را رسم کرد.
پرسش 5-1 (صفحهٔ 132 کتاب درسی)
روی قوطیهای افشانه (اسپری)، هشدار داده شده است که از انداختن آن در آتش خودداری کنید. علت این توصیه را براساس فرایند هم حجم توضیح دهید.
با داغ کردن قوطی، جنبش مولکولهای گاز درون آن بسیار زیاد میشود و فشار وارد از گاز به دیوارههای آن افزایش مییابد و این میتواند موجب ترکیدن قوطی شود. در واقع این مثالی از یک فرایند ترمودینامیکی هم حجم است که در آن با افزایش دما، فشار افزایش مییابد.
ب) فرایند هم فشار: فرایندی است که فشار گاز در طی آن ثابت میماند. به عنوان مثالی از این فرایند، گازی آرمانی را درنظر بگیرید که مطابق شکل 5-8 داخل استوانهای است که با یک منبع گرما با دمای قابل تنظیم در تماس است و دمای اولیهٔ گاز و منبع برابر است. گاز ابتدا در فشار و حجم $T_1$ و $V_1$ و $P_1$ در حالت تعادل قرار دارد. فرض کنید اصطکاک بین پیستون و استوانه ناچیز است.
دمای منبع را اندکی بالا میبریم. به علت اختلاف دمای بین منبع و دستگاه، مقدار کمی گرما به گاز منتقل میشود و دمای گاز کمی افزایش مییابد و در نتیجه گاز کمی منبسط میشود و پیستون را اندکی به طرف بالا جابهجا میکند. اگر گرما دادن به گاز را به همین روش، به صورت بسیار آهسته ادامه دهیم، گاز به کندی منبسط میشود و پیستون بسیار آهسته به طرف بالا حرکت میکند. در این فرایند، فشار گاز ثابت میماند. نمودارهای P-V و P-V این فرایند در شکل 5-9 رسم شده است.
تمرین 5-1 (صفحهٔ 133 کتاب درسی)
نشان دهید نمودار V-T برای فرایند هم فشارِ یک گاز آرمانی، خط راستی است که امتداد آن از مبدأ مختصات میگذرد.
چون گاز، کامل (آرمانی) است با استفاده از معادلهٔ حالت گاز آرمانی داریم:
$V=\left( \frac{nR}{P} \right)T$
چون $nR/P$ ثابت است، رابطهٔ بالا معادلهٔ یک خط راست است که امتداد (برون یابی) آن از مبدأ مختصات میگذرد. بنابراین نمودار این رابطه به شکل زیر میشود:
در فرایند همفشار، گرما و کار هر دو مبادله میشود. در اینجا ابتدا کار را محاسبه میکنیم. اگر فشار گاز $P$ باشد با توجه به تعریف فشار ($P=F/A$) گاز طی این فرایند نیروی ثابت $F=PA$ را به پیستون وارد میکند که در آن $A$ مساحت پیستون است.
اگر در این فرایند پیستون به اندازهٔ $d$ جابهجا شود (شکل 5-10)، کاری که گاز روی پیستون انجام میدهد برابر است با:
$=(F\cos \theta )d=(PA\cos 0{}^\circ )d=P(Ad)$ کار گاز روی پیستون
ولی $Ad$، تغییر حجم گاز و برابر است با $\Delta V={{V}_{2}}-{{V}_{1}}$؛ در نتیجه،
$=P\Delta V$ کار گاز روی پیستون
بنا به قانون سوم نیوتون، نیرویی که گاز به پیستون وارد میکند و نیرویی که پیستون به گاز وارد میکند هماندازه و در خلاف جهت یکدیگرند. از سوی دیگر میدانیم جابه جایی پیستون و جابه جایی لایهٔ گاز مجاور آن، هم اندازه و هم جهتاند؛ پس میتوان نوشت:
$=-P\Delta V$ منفیِ کار گاز روی پیستون = کار پیستون روی گاز
در این کتاب، کار محیط روی دستگاه (مثلا در اینجا کار پیستون روی گاز) را با W نشان میدهیم. بنابراین، در فرایند هم فشار داریم:
بنا به رابطهٔ فوق اگر گاز منبسط شود $(\Delta V \gt 0)$ کار محیط روی دستگاه ($W$) منفی و اگر گاز متراکم شود $(\Delta V \lt 0)$ کار محیط روی دستگاه ($W$) مثبت است.
تمرین 5-2 (صفحهٔ 134 کتاب درسی)
نشان دهید رابطهٔ 5-2 که برای یک انبساط هم فشار به دست آمده، برای یک تراکم هم فشار نیز برقرار است.
در تراکم هم فشار، در شکل 5-12 کتاب، جابه جایی رو به پایین میشود، در حالی که سوی نیروی وارد از گاز به پیستون تغییر نمیکند و بنابراین کار گاز روی پیستون چنین میشود:
$=Fd\cos 180{}^\circ =-Fd=-PAd$ کار گاز روی پیستون
اما توجه کنید که این بار $Ad$ برابر $-\Delta V$ است (زیرا حجم کاهش یافته $\Delta V$ منفی میشود). پس خواهیم داشت:
$=-PAd=-P(-\Delta V)=P\Delta V$ کار گاز روی پیستون
ولی چون کار پیستون روی گاز (کار محیط) منفی این رابطه است، کار پیستون روی گاز $-P\Delta V$ میشود که همان رابطهٔ 5-3 کتاب است.
فعالیت 5-1 (صفحهٔ 134 کتاب درسی)
با توجه به نمودار شکل روبه رو، نشان دهید در فرایند هم فشار، مساحت سطح زیر نمودار $P-V$ برابر با قدرمطلق کار انجام شده است.
از رابطهٔ 5-3 میدانیم که کار در فرایند هم فشار از رابطهٔ $W=-P\Delta V$ به دست میآید. از روی شکل داده شده برای فرایند هم فشار در مییابیم که حاصل ضرب $P\Delta V$ در واقع مساحت زیر نمودار $P-V$ (مساحت ناحیهٔ هاشور خورده) است. بنابراین میتوان گفت که در فرایند هم فشار، قدرمطلق کار انجام شده (قدرمطلق کار محیط روی دستگاه) برابر با سطح زیر نمودار $P-V$ است.
گرچه فعالیت 5-1 برای یک فرایند هم فشار است، ولی میتوان نشان داد که نتیجهٔ آن در حالت کلی نیز برای هر فرایندی برقرار است و همواره قدرمطلق کار انجام شده برابر با مساحت سطح زیر نمودار فرایند در صفحهٔ $P-V$ است.
مثال 5-8
در شکل روبهرو، نمودار P-V برای یک گاز آرمانی نشان داده شده است. در فرایند 150J ،ab و در فرایند 600J ،bc گرما به دستگاه داده شده است.
الف) تغییر انرژی درونی گاز در فرایند ab چقدر است؟
ب) تغییر انرژی درونی گاز در فرایند abc چقدر است؟
پ) گرمای داده شده به گاز در فرایند adc را محاسبه کنید.
پاسخ: الف) چون در فرایند ab هیچ تغییر حجمی نداریم، ${W_{ab}} = 0$ و در نتیجه:
$\Delta {{U}_{ab}}={{Q}_{ab}}=150J$
ب) فرایند bc در فشار ثابت رخ میدهد و بنابراین، کار انجام شده روی دستگاه برابر است با:
${{W}_{bc}}=-P\Delta V=-P({{V}_{c}}-{{V}_{b}})=-(8/00\times {{10}^{4}}Pa)(3/00\times {{10}^{-3}}{{m}^{3}})=-240J$
در نتیجه کل کار انجام شده در فرایند abc برابر است با:
${{W}_{abc}}={{W}_{ab}}+{{W}_{bc}}=0-240J=-240J$
و از طرفی گرمای کل داده شده به دستگاه در فرایند abc برابر است با
${{Q}_{abc}}={{Q}_{ab}}+{{Q}_{bc}}=150J+600J=750J$
با استفاده از قانون اوّل ترمودینامیک داریم:
$\Delta {{U}_{abc}}={{Q}_{abc}}+{{W}_{abc}}=750J-240J=510J$
پ) میدانیم در فرایندهای مختلفی که از حالت اولیهٔ یکسان آغاز میشوند و به حالت نهایی یکسان میرسند، تغییر انرژی درونی گاز یکسان است. بنابراین:
$\Delta {{U}_{abc}}=\Delta {{U}_{abc}}=510J$
از طرفی کل کار انجام شده در فرایند adc برابر است با:
${{W}_{adc}}={{W}_{ad}}+{{W}_{dc}}=-p({{V}_{d}}-{{V}_{a}})+0=-(3/00\times {{10}^{4}}Pa)(3/00\times {{10}^{-3}}{{m}^{3)}}=-90/0J$
با استفاده از قانون اول ترمودینامیک داریم:
$\Delta {{U}_{adc}}={{Q}_{adc}}+{{W}_{adc}}$
و در نتیجه
${{Q}_{adc}}=\Delta {{U}_{adc}}-{{W}_{adc}}=(510J)-(-90/0J)=600J$
پ) فرایند هم دما: دمای دستگاه (گاز) طی این فرایند ثابت میماند؛ مثلاً برای انجام دادن یک تراکم هم دما میتوان مطابق شکل 5-11 استوانهٔ حاوی گاز را در تماس با یک منبع گرمایی با دمای ثابت و برابر با دمای اولیهٔ گاز قرار داد و حجم گاز داخل استوانه را با افزودن تدریجی ساچمههای فلزی روی پیستون به آهستگی کاهش داد.
با افزودن تدریجی ساچمهها، بر فشار گاز داخل استوانه افزوده میشود.
در فرایند هم دما، دمای گاز تغییر نمیکند. بنابراین، برای گاز آرمانی که انرژی درونی آن فقط تابعی از دماست، تغییر انرژی درونی صفر است و با استفاده از قانون اوّل ترمودینامیک میتوانیم بنویسیم:
$\Delta U=Q+W=0$
در نتیجه:
$Q=-W$
که چون در تراکم، کار انجام شدهٔ محیط روی گاز، W، مثبت است، Q منفی می شود؛ یعنی در تراکم هم دما، گاز گرما از دست میدهد. نمودارهای V-T و P-V این فرایند در شکل 5-12 رسم شده است.
تمرین 5-3 (صفحهٔ 136 کتاب درسی)
مشابه آنچه که برای تراکم هم دما شرح دادیم، انبساط هم دمای گاز کامل را شرح دهید و علامتهای Q و W را برای چنین فرایندی تعیین و نمودارهای P-T و V-T را برای آن رسم کنید.
بدیهی است که باید ترتیبی دهیم که حجم گاز داخل استوانهٔ حاوی گازی که در تماس با یک منبع گرما با دمای ثابت است به گونهای تدریجی و ایستاوار افزایش یابد. پس کاهش تدریجی ساچمههای سربی میتواند روشی قابل قبول باشد؛ البته این کار را میتوان با روشهای متفاوتی انجام داد. مثلا میتوان به جای ساچمههای سربی از کیسههای شنی استفاده کرد که سوراخ کوچکی در آن ایجاد شده، به گونهای که شن به آرامی از آن خارج میشود. در هر حال، با کاهش وزن روی پیستون و در نتیجه فشار گاز، پیستون به سمت بالا حرکت میکند و در نتیجه گاز منبسط میشود. نمودارهای $P-T$ و $V-T$ این فرایند به صورت زیر میشود:
در مورد علامتهای $Q$ و $W$ توجه کنید چون گاز منبسط شده است، پس گاز (دستگاه) روی محیط کار (مثبت)انجام داده و بنابراین $W<0$ است. چون فرایند هم دما است، برای گاز کامل که انرژی درونی آن فقط به دما بستگی دارد $\Delta U=0$ است و بنابراین از قانون اول ترمودینامیک درمییابیم $Q+W=0$ و در نتیجه با توجه به اینکه $W<0$ است، $Q$ باید مثبت باشد. این نتیجه را میتوانیم این طور توجیه کنیم که در واقع در هر مرحلهٔ کوچک از فرایند، بر اثر انبساط گاز، دمای گاز اندکی کاهش مییابد که این کاهش دما با گرفتن گرما از منبع جبران میشود.
فعالیت 5-2 (صفحهٔ 136 کتاب درسی)
انتهای یک سرنگ حاوی هو ا را مسدود و آن را وارد حجم بزرگی از آب کنید. پس از مدتی، پیستون سرنگ را به آرامی بفشارید. هوای درون سرنگ چه فرایندی را طی میکند؟
وقتی سرنگ حاوی هوا را در آب میاندازیم و مدتی صبر میکنیم، هوای درون سرنگ با آب هم دما میشود. از این به بعد، هوای درون سرنگ (به عنوان دستگاه) در تماس گرمایی با حجم بزرگ آب (به عنوان منبع گرما) است. دستگاه و منبع، دمای مساوی دارند. با فشردن کنُد و آرام پیستون، فشار هوای درون سرنگ افزایش و حجم آن کاهش مییابد. ولی از آنجا که هوای سرنگ (دستگاه) در تماس گرمایی با آب (منبع گرما) است و فرایند به کندی رخ میدهد، دمای دستگاه همان دمای منبع باقی میماند، یعنی دما ثابت است و بنابراین یک انبساط هم دما داریم (در واقع توجه کنید که در هر مرحلهٔ کوچک این فرایند، دما در ابتدا کمی زیاد میشود، ولی این افزایش دما با دادن گرما به آب جبران میشود تا اینکه هوا دوباره با آب هم دما شود.) هدف از این پاسخ فعالیت و پاسخ تمرین 5-3 آن است که به دانش آموزان گوشزد کند در فرایند هم دما، گاز با محیط تبادل گرما میکند بی آنکه دمایش تغییر کند. در واقع اهمیت فرایند هم دما در تبدیل کامل کار و گرما به یکدیگر است. وقتی محیط روی دستگاه کار انجام دهد، به همان اندازه کار، دستگاه به محیط گرما میدهد.
مثال 5-5
گازی آرمانی را در دمای ثابت از حالت اولیهٔ ${V_1} = 4/0L$ و ${P_1} = 1/0atm$ تا حالت نهایی با حجم ${V_4} = 1/0L$ متراکم میکنیم.
الف) در طی این فرایند، فشار گاز را برای هریک از حجمهای 2/0L ، 3/0L و 1/0L حساب کنید و نمودار P-V را با استفاده از روش نقطهیابی و معلوم بودن مختصات هر نقطه رسم کنید.
اگر مساحت سطح زیر این نمودار $5/5\times {{10}^{2}}J$ باشد، ب) W و پ) Q در این فرایند چقدر است؟
پاسخ:
الف) چون گاز، آرمانی و فرایند هم دماست داریم:
$PV=nRT\Rightarrow {{P}_{1}}{{V}_{1}}={{P}_{2}}{{V}_{2}}=...$
${{V}_{2}}=3/0L\Rightarrow (1/0)(4/0)=({{P}_{2}})(3/0)\Rightarrow {{P}_{2}}=1/3atm$
${{V}_{3}}=2/0L\Rightarrow (1/0)(4/0)=({{P}_{3}})(2/0)\Rightarrow {{P}_{3}}=2/0atm$
${{V}_{4}}=1/0L\Rightarrow (1/0)(4/0)=({{P}_{4}})(1/0)\Rightarrow {{P}_{4}}=4/0atm$
مختصات نقطههای مربوط به نمودار P-V را در جدول یادداشت و نمودار را رسم میکنیم:
ب) قدرمطلق کار محیط روی دستگاه برابر با مساحت سطح زیر نمودار P-V است. افزون بر این، چون گاز متراکم شده است، علامت کار انجام شده بر روی گاز مثبت است؛ یعنی:
$W=+5/5\times {{10}^{2}}J$
پ) برای فرایند هم دمای گاز کامل نشان دادیم Q=-W است. بنابراین، برای Q داریم:
$Q=-W=-5/5\times {{10}^{2}}J$
تمرین 5-4 (صفحهٔ 137 کتاب درسی)
در شکل زیر، نمودار P-V مربوط به انبساط هم دمای یک گاز آرمانی در دماهای مختلف رسم شده است.
الف) نشان دهید: ${{T}_{4}}>{{T}_{3}}>{{T}_{2}}>{{T}_{1}}$. (راهنمایی: خطی عمود بر محور V یا عمود بر محور P رسم کنید، به گونهای که هر چهار نمودار منحنیها به کار ببندید).
با توجه به معادلهٔ حالت گاز کامل داریم
$PV=nRT\Rightarrow P=\left( \frac{nR}{V} \right)T$
اگر طبق راهنمایی، خطّی عمودی بر محور حجم رسم کنیم به گونهای که هرچهار نمودار را قطع کند از رابطهٔ بالا در مییابیم که برای چهار نقطهٔ تلاقی که در آنها $nR/V$ (ضریب $T$) برابر است، فشار کمتر مربوط به دمای کمتر است. بنابراین، منحنی ${{T}_{1}}$ که خط عمود بر محور حجم را در جا (فشار) پایینتری قطع کرده است کمترین دما را دارد و منحنی ${{T}_{4}}$ که خط عمود بر محور را در جا (فشار) بالاتری قطع کرده است، بیشترین دما را دارد و بدین ترتیب ${{T}_{4}}>{{T}_{3}}>{{T}_{2}}>{{T}_{1}}$ است. البته میتوانستیم مسئله را به ازای یک فشار معین نیز بررسی کنیم. در آن صورت، معادلهٔ حالت گاز کامل را به صورت زیر بنویسیم:
$V=\left( \frac{nR}{P} \right)T$
حال اگر خطی به محور فشار رسم کنیم؛ به گونهای که هر چهار نمودار را قطع کند، از رابطهٔ بالا درمییابیم در مقایسهٔ این چهار نقطهٔ تقاطع، کمترین حجم مربوط به کمترین دما و بیشترین حجم مربوط به بیشترین دما است. بنابراین داریم:
${{T}_{4}}>{{T}_{3}}>{{T}_{2}}>{{T}_{1}}$
از این پاسخ تمرین درمییابیم که نمودارهای هم دما برای ما حکم یک دماسنج را دارند و با مشاهده آنها در مقایسه با یکدیگر میتوان درباره دما اظهارنظر کرد و با مشاهده نمودار یک فرایند در زمینهٔ آنها میتوان درباره تغییر دمای گاز در مسیر آن فرایند اظهارنظر کرد.
ب) در یک تغییر حجم معین، اندازهٔ کار انجام شده در کدام فرایند بیشتر است؟
همان طور که اشاره کردیم، مقدار کار برابر مساحت زیر نمودار $P-V$ است. چون مساحت زیر منحنی ${{T}_{1}}$ از همه کمتر و مساحت زیر منحنی ${{T}_{4}}$ از همه بیشتر است، بنابراین داریم:
$|{{W}_{4}}|>|{{W}_{3}}|>|{{W}_{2}}|>|{{W}_{1}}|$
(توجه کنید که هر چهار نمودار، فرایندهای انبساطی را نشان میدهند و در آنها $W$ منفی است.)
ت) فرایند بیدررو: در این فرایند بین دستگاه (گاز) و محیط، گرما مبادله نمیشود. برای انجام دادن این فرایند یا باید دستگاه را مطابق شکل 5-13 کاملاً عایقبندی کنیم و سپس عمل تراکم یا انبساط را با افزودن یا کاستن تدریجی ساچمههای فلزی روی پیستون به آهستگی انجام دهیم و یا اینکه گاز را چنان به سرعت متراکم یا منبسط کنیم که گاز فرصت تبادل گرما با محیط را پیدا نکند. بنابراین، در فرایند بی دررو $Q=0$ است.
در نتیجه، قانون اوّل ترمودینامیک برای این فرایند به صورت زیر درمیآید:
$\Delta U=Q+W=0+W$
یا
در انبساط بیدررویِ گاز آرمانی، کارِ محیط روی گاز (دستگاه) منفی است، در نتیجه $\Delta U \lt 0$ است و انرژی درونی گاز و دمای آن کاهش مییابد. در تراکم بی دررو، عکس این اتفاق رخ میدهد و انرژی درونی گاز و دمای آن افزایش مییابد.
فعالیت 5-3 (صفحهٔ 137 کتاب درسی)
وقتی درِ یک نوشابهٔ گازدار خیلی سرد را سریع باز میکنیم، مشاهده میشود که هالهٔ رقیقی در اطراف دهانهٔ نوشابه ایجاد میشود. این پدیده را توجیه کنید.
در قسمت بالای بطری نوشابهای که در آن باز نشده مخلوطی از گاز کربندیاکسید و بخار آب وجود دارد. وقتی که در نوشابه را سریع باز میکنیم به علت سرعت بالای انجام این کار، گاز داخل بطری نوشابه فرصت تبادل گرما با محیط را ندارد و فرآیندی بیدررو را طی میکند. در این فرآیند فشار گاز کاهش و حجم آن افزایش مییابد. در نتیجه انرژی درونی گاز و دمای آن کاهش مییابد و این کاهش دما باعث میشود تا بخار آب موجود در بطری نوشابه به مایع تبدیل و به صورت ابری رقیق دیده شود.
مثال 5-6
گازی آرمانی را با حجم $V_1$ و فشار $P_1$ در نظر بگیرید. اگر این گاز را با یک فرایند بیدررو منبسط کنیم، نشان داده میشود که نمودار P-Vی آن خمی مشابه شکل زیر میشود که اندکی با خم یک فرایند هم دما متفاوت است.
با فرض آنکه گاز در طی دو فرایند هم دما و بیدررو که از حجم و فشار یکسانی شروع میشوند، به حجم یکسانی انبساط یابد، نمودارهای این دو فرایند را در یک صفحه P-V رسم و با هم مقایسه کنید. در کدام فرایند مقدار کار بیشتر است؟
پاسخ: در شکل (الف) دو منحنی هم دما، با استفاده از نتیجهٔ تمرین 5-5 برای دماهای $T_1$ و $T_2$، $T_1 \gt T_2$ رسم شده است. در فرایند هم دما، دما تغییر نمیکند. بنابراین، در انبساط هم دمای مسیر 1 در شکل (ب) همواره $T = T_1$ است، ولی همانطور که پیشتر گفتیم در انبساط بیدررو، دمای گاز آرمانی کاهش مییابد، پس گاز باید از مسیری مانند مسیر 2 به دمایی پایینتر، مثل دمای $T_2$ در شکل (ب) برسد. از اینجا همچنین نتیجه میشود که چون سطح زیر نمودار مربوط به انبساط هم دما بیشتر است، مقدار کار برای این فرایند بیشتر است.
تمرین 5-5 (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
مثال 5-6 را با فرض آنکه گاز به جای انبساط، تراکم یابد پاسخ دهید.
با توجه به رابطهٔ 5-3 و با توجه به اینکه در تراکم، کار محیط روی گاز (دستگاه) مثبت است، نتیجه میگیریم $\Delta U \gt 0$ است. چون گاز، کامل (آرمانی) است افزایش انرژی درونی گاز با افزایش دمای آن همراه است؛ یعنی دمای گاز افزایش مییابد.
این نتیجه از رابطهٔ $\Delta U=n{{C}_{V}}\Delta T$ قابل مشاهده است.
چگونگی رسم منحنیهای هم دما را در پاسخ تمرین 5-5 آموختیم و دریافتیم دمای بالاتر مربوط به خم (منحنی) بالاتر است؛ بنابراین نموداری مانند شکل زیر خواهیم داشت به جای 1 و 2 کتاب $f$ و $i$ (در حل این پاسخ تمرین از نماد استفاده کردهایم.)
مثال 5-7
در شکل زیر گازی آرمانی را از طریق چند فرایند مختلف، از جمله یک فرایند هم حجم، یک فرایند هم فشار و یک فرایند بیدررو از دمای $T_1$ به دمای $T_2$ رساندهایم. توضیح دهید چرا تغییر انرژی درونی در تمام فرآیندها یکسان است.
پاسخ: همانطور که میدانیم انرژی درونی گاز آرمانی فقط به دمای گاز بستگی دارد. بنابراین، با توجه به اینکه دماهای اولیه و نهایی در همهٔ فرایندها یکی است، تغییر انرژی درونی در هر چهار فرایند برابر است.
پرسش 5-2 (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
سرنگ آتش زنه استوانهٔ کوچکی است مجهز به پیستونی که کاملاً بر سطح داخلی استوانه منطبق است. در فضای محبوس داخل سرنگ، فقط هوا و تکهٔ کوچکی از پنبه قرار دارد. با راندن سریع پیستون به داخل، و تراکم بی در روی هوای محبوس، تکهٔ پنبه مشتعل میشود. (معمولاً از کاغذ نیتروسلولز در این آزمایش استفاده میشود که نقطهٔ اشتعال بسیار پایینی دارد.) چرا پنبه در این فرایند آتش میگیرد؟
در اینجا برای هوای داخل سرنگ تراکمی بی دررو رخ میدهد، چرا که گفتیم هرگاه تغییر حجم گاز چنان به سرعت رخ دهد که گاز فرصت تبادل گرما با محیط را پیدا نکند، آن فرایند تراکمی یا انبساطی، بی دررو است. قبلاً دیدیم که در یک تراکم بیدررو، دمای گاز کامل افزایش مییابد. بنابراین، در اینجا دمای هوای داخل سرنگ زیاد میشود و با توجه به اینکه نقطهٔ اشتعال کاغذ نیتروسلولز بسیار پایین است، با اندک افزایش دمایی مشتعل میشود. البته این آزمایش را میتوان با انواع دیگری از کاغذ نیز انجام داد ولی لازمهٔ آن دقت فراوان در انجام آزمایش است، در حالی که با کاغذ نیتروسلولز، به سادگی میتوان به نتیجه رسید.
5-5 چرخۀ ترمودینامیکی
دستگاه میتواند فرایندی را طی کند که از مجموع چند فرایند تشکیل شده باشد. برای مثال، فرایند شکل 5-14، از سه فرایند هم حجم ab، فرایند bc و فرایند هم فشار ca تشکیل شده است. مجموعهٔ این فرایندها یک چرخهٔ ترمودینامیکی را تشکیل داده است.
در واقع در چرخهٔ ترمودینامیکی، دستگاه پس از طی چند فرایند مختلف به حالت اولیهٔ خود باز میگردد؛ چون در چرخهٔ ترمودینامیکی حالت نهایی با حالت ابتدایی یکسان است تغییر انرژی درونی برابر صفر است $(\Delta U=0)$ بنابراین، از قانون اوّل ترمودینامیک برای چرخههای ترمودینامیکی داریم:
فعالیت 5-4 (صفحهٔ 157 کتاب درسی)
شکل زیر یک چرخهٔ ترمودینامیکی فرضی را نشان می دهد.
الف) کار انجام شده روی دستگاه در هر فرایند را برحسب سطح زیر نمودار آن بیان کنید.
برای آنکه منظور مشخص شود، محلهای تقاطع خط چینهای عمودی با محور $V$ را به ترتیب با $a'$ $b'$ $c'$ $d'$ نماش میدهیم.
بنابراین، قدرمطلق کار انجام شده در فرایند $da$ برابر مساحت محصور در سطح $add'a'$، قدرمطلق کار انجام شده در فرایند $ab$ برابر مساحت محصور در سطح $abb'a'$ و قدرمطلق کار انجام شده در فرایند $bc$ برابر مساحت محصور در سطح $bcc'b'$ و قدر مطلق کار انجام شده در فرایند $cd$ برابر مساحت محصور در سطح $dcc'd'$ است. اما علامتهای کار (محیط روی دستگاه) با توجه به اینکه در فرایندهای $da$ و $cd$ از حجم کاسته شده است، مثبت و در فرایندهای $ab$ و $bc$ که به حجم افزوده شده است، منفی است.
ب) نشان دهید مقدار کار کل انجام شده روی دستگاه برابر با مساحت داخل چرخه است.
کار انجام شده در چرخه برابر جمع جبری کارهای انجام شده در هر چهار فرایند است. اگر مساحتها و علامتهای کار را که در قسمت (الف) بررسی کردیم لحاظ کنیم، در مییابیم کار محیط در این چرخه برابر با مساحت محصور در داخل چرخه است و بنابراین مقدار کار برابر مساحت داخل چرخه میشود.
پ) کار کل انجا مشده روی دستگاه مثبت است یا منفی؟ توضیح دهید.
بنا به توضیح قسمت (ب) کار کلّ انجام شده روی دستگاه در این چرخه، منفی است. به عبارت دیگر، شکلی مانند شکل زیر داریم که همان طور که مشاهده میکنیم در آن علامت منفی غالب شده است.
با انجام فعالیت 5-4 دریافتیم اندازهٔ کار انجام شده در چرخه برابر با مساحت سطح داخل چرخه در صفحهٔ P-V است و میتوان نشان داد در چرخههای ساعتگرد در صفحهٔ P-V کار انجام شده بر روی دستگاه، منفی و در چرخههای پادساعتگرد، مثبت است.
مثال 5-8
گازی چرخهٔ ترمودینامیکی فرضی نشان داده شده در شکل را میپیماید.
الف) کار انجامشده روی گاز در این چرخه چقدر است؟
ب) گرمای مبادله شده بین گاز و محیط در چرخه چقدر است؟
پاسخ: الف) همان طور که دیدیم اندازه کار انجام شده روی گاز، برابر با مساحت سطح داخل چرخه است:
$|W|={{S}_{abcd}}=(8/0-3/0)\times {{10}^{5}}N/{{m}^{2}}\times (5/0-2/0)\times {{10}^{-3}}{{m}^{3}}=1/5\times {{10}^{3}}J$
چون چرخه در صفحهٔ P-V پاد ساعتگرد است، داریم:
$W=+1/5\times {{10}^{3}}J$
با توجه به رابطهٔ 5-4 میتوان نوشت:
$Q=-W=-1/5\times {{10}^{3}}J$
بنابراین، گرمای مبادله شده بین گاز و محیط $|Q|=1/5\times {{10}^{3}}J$ است و علامت منفیِ Q نشان میدهد در این چرخه، گاز به محیط گرما داده است.
6-5 ماشینهای گرمایی
تا حدود سه قرن پیش، انرژی مکانیکی مور دنیاز انسان به طور عمده از طریق نیروی ماهیچهای انسانها و حیوانها تأمین میشد. از نیروی حاصل از باد و جریان آب (مثلاً در آسیابهای بادی و آبی) نیز انرژی مکانیکی به دست میآمد. اما استفاده از این منابع انرژی فقط در زمانها و مکانهای خاصی امکانپذیر بود. امروزه بیشتر انرژی مورد نیاز انسان از طریق ماشینهای گرمایی به دست میآید. ماشینها با استفاده از برخی فرایندهای ترمودینامیکی، گرمای حاصل از سوخت را به کارتبدیل میکنند. از این ماشینها درمواردی از قبیل لکوموتیو، کشتی بخار، زیردریایی، خودرو، هواپیما و فضاپیما استفاده میشود. همچنین در نیروگاهها کار حاصل از این ماشینها نخست به انرژی الکتریکی تبدیل میشود و سپس از طریق شبکهٔ برق رسانی به مکانهای مختلف منتقل میگردد و از این طریق، انرژی موردنیاز انسان در محل کار و زندگی تأمین میشود.
از نظر تاریخی نخستین ماشینهای گرمایی، ماشینهای برون سوز مانند ماشین بخار بوده است. نوع دیگری از ماشینها نیز وجود دارند که به خصوص در موتور خودروها استفاده میشوند و با سوختهایی چون بنزین و گازوئیل کار میکنند که به آنها ماشینهای درون سوز میگویند.
در ماشینهای گرمایی با ترکیب چند فرایند ترمودینامیکی، دستگاه مقداری گرما از محیط دریافت و بخشی از آن را به کار روی محیط تبدیل میکند.از آنجا که این تبدیل انرژی باید دائماً انجام شود، طراحی این ماشینها به این صورت است که دستگاه پس از پیمودن چند فرایند معین به حالت اولیهٔ خود برمییگردد؛ یعنی هر یک از این ماشینها در یک چرخهٔ معین کار میکنند و این چرخه، در ضمن کار ماشین دائماً تکرار میشود. در ادامه با ذکر مثالهایی چگونگی کار ماشینهای برون سوز و درون سوز را توضیح میدهیم و با اساس کار ماشینهای گرمایی آشنا میشویم.
الف) ماشینهای گرمایی برون سوز
ماشینهای برون سوز انواع مختلفی دارند که ابتداییترین نوع آنها ماشین نیوکامن است که از آن برای بیرون کشیدن آب از معادن استفاده میشد. انواع روزآمدتر این ماشینها ماشین استرلینگ و ماشین بخار است. در ادامه به توضیح نمونهٔ ساده ای از ماشینهای بخار میپردازیم که توسط جیمز وات (1819-1736 م.) طراحی شد.
ماشین بخار وات: در ماشین بخار دستگاهی که چرخه را طی میکند، آب است. همانطور که در شکل 5-15 نشان داده شده است، آب در دیگ بخار مقداری گرما دریافت میکند و پس از انجام دادن چند فرایند مختلف،که به توضیح آنها میپردازیم ، به حالت اولیهٔ خود در دیگ بخار برمیگردد و این چرخه دائما تکرار میشود؛ چون گرما توسط کوره، از بیرون، به آب داده میشود، ماشین بخار از نوع ماشینهای برون سوز محسوب میشود. با باز شدن شیر A بخار حاصل از دیگ بخار با فشار وارد استوانه (سیلندر) میشود و به این ترتیب، پیستون را به بالا میراند در حالی که شیر B بسته است. وقتی پیستون به بالای استوانه میرسد شیر A بسته میشود و به این ترتیب، دیگ بخار مسدود میگردد. همزمان شیر B باز میشود و بدین ترتیب، بخار از استوانه خارج و وارد محفظهٔ چگالنده میگردد. با ورود بخار به چگالنده، پیستون پایین میآید و هنگامی که پیستون به پایینترین سطح خود میرسد، شیر B بسته و به طور همزمان شیر A باز میشود و این مراحل دوباره تکرار میگردد. آب خنک کننده، چگالنده را همواره خنک نگه میدارد و بدین ترتیب، بخاری که وارد محفظهٔ چگالنده میگردد، به مایع تبدیل میگردد (توجه کنید که آب خنک کننده وارد چگالنده نمیشود، بلکه اطراف آن را خنک میسازد). مایع پس از خروج از چگالنده توسط یک پمپ (تلمبه) به دیگ بخار برگردانده میشود و این چرخه پی درپی تکرار میشود. تحلیل دقیق چرخهٔ یک ماشین بخار دشوار است. اما با برخی ساده سازی ها می توان به تحلیل این ماشین ها پرداخت و به چرخه ای آرمانی (موسوم به چرخهٔ رانکین) رسید. منظور از چرخهٔ آرمانی چرخه ای است که فرایندهای آن ایستاوار و بدون اصطکاک و هرگونه اتلافی باشد. همان طور که در ماشین بخار وات دیدیم دستگاه (آب) درهر چرخه با دو منبع گرمای دیگ بخار و چگالنده، تبادل گرما میکند و کار خالصی انجام میدهد. دیگ بخار را که در دمای بالاتری قرار دارد، منبع با دمای بالاتر و چگالنده را منبع با دمای پایینتر مینامند. گرمایی را که دستگاه از منبع با دمای بالاتر میگیرد با QH، و گرمایی را که دستگاه به منبع با دمای پایینتر میدهد با |Q|، و کار خالص انجا مشده توسط دستگاه در طی چرخه را با |W| نمایش میدهیم.
فعالیت 5-5 (صفحهٔ 142 کتاب درسی)
در مورد ماشین های بخاری که امروزه در نیروگاه های گرمایی (حرارتی) استفاده میشوند و نحوهٔ کارکرد آنها تحقیق کنید و نتیجه تحقیق را در کلاس ارائه نمایید.
در نیروگاههای حرارتی، انرژی گرمایی به توان الکتریکی تبدیل میشود. اساس کار کلیهٔ نیروگاههای حرارتی گرم کردن آب، تبدیل آن به بخار آب و در پی آن چرخاندن یک توربین بخار است که یک مولدّ (ژنراتور) را به راه میاندازد. بخار پس از عبور از توربین، در یک چگالنده چگالیده شده و به آب تبدیل میگردد. سپس این آب به دیگ بخار برگردانده میشود و در آنجا به بخار داغ پرُفشار تبدیل گردیده و مجدداً به طرف توربین میرود و این چرخه دوباره تکرار میگردد که در واقع همان چرخهٔ رانکین ماشینهای بخار است. منبع انرژی یک نیروگاه که از ساز و کار ماشین بخار استفاده میکند میتواند متفاوت باشد که البته سوختهای فسیلی غالب هستند، گرچه از انرژی هستهای، انرژی زمین گرمایی (ژئوترمال)، و انرژی خورشیدی نیز استفاده میشود.
فعالیت 5-6 (صفحهٔ 142 کتاب درسی)
قایق پوت - پوت، نوعی قایق اسباب بازی است که اساس کار آن مانند ماشینهای برون سوز است. در مورد این قایقهای اسباب بازی تحقیق کرده و سعی کنید آن را بسازید.
شاید قایق پوت پوت سادهترین ماشین بخاری باشد که تا به حال دیدهاید. این ماشین، سیلندر، پیستون، میل لنگ، سوپاپ های ورود و خروج بخار و... ندارد ولی در آن چرخهای مشابه چرخهٔ ماشین بخار رخ میدهد و این چرخه کار مکانیکی موردنیاز برای به حرکت درآوردن قایق در یک استخر یا حوض آب را تأمین میکند.
میتوانید برای ساختن این قایق از یک بطری پلاستیکی استفاده کنید. بطری را مطابق شکل طوری از وسط نصف کنید که هر نیمهٔ آن شبیه یک قایق کوچک باشد. یک لولهٔ مسی به قطر تقریباً 3mm و طول تقریباً 70cm (بسته به بزرگی و کوچکی قایق) تهیه و آن را مطابق شکل خم کنید (این نوع لوله را میتوانید از تعمیرگاههای یخچال بخرید). برای درست کردن بخش پیچهای شکلِ خم این لوله، میتوانید لوله را دور یک میله بپیچانید. دو سوراخ کوچک در انتهای قایق ایجاد کنید و دو سر لولهٔ مسی را مطابق شکل از این دو سوراخ عبور دهید. دقت کنید سوراخها خیلی کوچک باشند طوری که وقتی دو سر لولهٔ مسی را از آنها عبور میدهید، سوراخها به خوبی مسدود شوند و وقتی قایق روی آب قرار میگیرد، آب از کنارههای این سوراخها وارد قایق نشود. یک شمع تزیینی که درون استوانهٔ آلومینیمی کوچکی قرار دارد را مطابق شکل، زیر قسمت پیچه مانند لولهٔ مسی قرار دهید، طوری که وقتی شمع روشن شد پیچه را داغ کند. لولهٔ مسی را کاملاً از آب پرکنید. به این منظور میتوانید یک سر لوله را درون آب قرار دهید و از سر دیگر لوله، هوای درون لوله را بمکید. با مکیدن هوای درون لوله، آب کلّ لوله را پر میکند. دو انتهای لوله را با انگشتانتان بگیرید و قایق را طوری در آب قرار دهید که دو انتهای لوله کاملاً درون آب باشد. اکنون شمع را روشن کنید.
ب) ماشینهای گرمایی درون سوز
موتور بیشتر خودروهای سواری، هواپیماها، برخی کشتیها، قطارها و مولدهای کوچک برق (ژنراتور) درون سوزند. ماشینهای گرمایی درون سوز انواع مختلفی دارند که دو نوع متداول آنها بنزینی و دیزلی نام دارند. در اینجا به توصیف ماشینهای بنزین میپردازیم.
ماشین درون سوز بنزینی: موتور ماشین بنزینی از یک یا چند استوانه (سیلندر) تشکیل شده است که پیستونها داخل آنها حرکت میکنند. یکی از این استوانهها و اجزای جانبی آن در شکل 5-16 نشان داده شده است.
در این نوع موتور، بخشی از انرژی حاصل از سوخت، سبب حرکت پیستون میشود. این حرکت از طریق دسته (شاتون) و میل لنگ به حرکت چرخشی تبدیل میشود. با انتقال این حرکت چرخشی به چرخها، اتومبیل حرکت میکند. بخش دیگر انرژی از طریق رادیاتور، که موتور را سرد میکند، و لولهٔ خروجی (اگزوز) مستقیماً به هوا داده میشود.
ماشین بنزینی چرخه ای را طی میکند که شامل شش فرایند است. از این شش فرایند، چهار فرایند همراه با حرکت پیستوناند که به آنها ضربه میگویند. این فرایندها به طور طرح وار در شکل 5-18 نشان داده شده است.
1- ضربۀ مکش: با پایین آمدن پیستون، مخلوط بنزین و هوا از طریق دریچهٔ ورودی وارد استوانه میشود. همانطور که شکل 5-17 نشان میدهد وقتی پیستون بالاست حجم فضای بالای آن $V_1$ و وقتی پیستون پایین است حجم این فضا $V_2=rV_1$ است (r را نسبت تراکم یا نسبت انبساط میگویند). وقتی پیستون به پا یینترین وضعیت خود رسید، سوپاپ دریچهٔ ورودی بسته میشود و مخلوط بنزین و هوا داخل استوانه محبوس میگردد.
2- ضربۀ تراکم: پیستون بالا میآید، مخلوط را متراکم میکند و آن را به حجم $V_1$ میرساند. این تراکم به سرعت رخ میدهد. بنابراین، میتوان آن را بیدررو درنظر گرفت. در نتیجه، در پایان این مرحله، دما و فشار مخلوط بسیار بالا رفته است.
3- آتش گرفتن: هنگامی که پیستون به بالاترین وضعیت خود رسید، شمع جرقه میزند، مخلوط آتش میگیرد و دما و فشار آن در حجم ثابت $V_1$ تا مقدار زیادی بالا میرود؛ چون آتش گرفتن مخلوط در داخل استوانه رخ میدهد و مخلوط از بیرون گرما نمیگیرد، این موتورها را درون سوز میگویند.
4- ضربۀ قدرت: در این مرحله در اثر فشار زیاد، مخلوط منبسط میشود و حجم آن از $V_1$ به $V_2$ میرسد. این انبساط به سرعت رخ میدهد. بنابراین، میتوان آن را بی دررو درنظر گرفت. در نتیجه در این انبساط، فشار و دمای مخلوط کاهش مییابد. در این مرحله مخلوط، پیستون را به شدت به پایین میراند و روی آن کار انجام میدهد. این کار توسط میل لنگ به اجزای دیگر ماشین منتقل میشود.
5- تخلیه: در حالی که پیستون در پایینترین وضعیت (حجم $V_2$) قرار دارد، سوپاپ دریچهٔ خروجی باز میشود و قسمتی از محصولات احتراق به صورت دود از دریچهٔ خروجی خارج میشود، تا اینکه فشار گاز داخل استوانه با فشار جو یکسان شود. در این مرحله پیستون ساکن است.
6- ضربۀ خروج گاز: پیستون بالا میآید و بقیهٔ محصولات احتراق را بیرون میراند و حجم فضای بالای پیستون از $V_2$ به مقدار اولیه $V_1$ میرسد.
تحلیل دقیق چرخهٔ یک ماشین بنزینی دشوار است. اما با بعضی ساده سازیها میتوان به تحلیل این ماشینها پرداخت و به چرخهای آرمانی (موسوم به چرخهٔ اتو) رسید. در این سادهسازیها میتوان دستگاه را گازی آرمانی درنظر گرفت و بدین ترتیب، فرض کرد که گاز به جای مرحلهٔ آتش گرفتن، گرمای $Q_H$ را از محیط (منبع با دمای بالا) دریافت میکند، به جای مرحلهٔ تخلیه و خروج گاز، گرمای $\left| {{Q_L}} \right|$ را به محیط (منبع با دمای پایین) تحویل میدهد و سپس گاز سرد شده در فشار ثابت جو از استوانه خارج میشود. در طی این چرخه، کار خالص $\left| W \right|$ را روی محیط انجام میدهد. شکل 5-19 طرحی از اجزای یک ماشین بنزینی چهار سیلندر را نشان میدهد.
خوب است بدانید: چرخۀ اُتو
همانطور که در متن درس اشاره شد چگونگی عمل یک ماشین درون سوز بنزینی را میتوان با فرض مجموعهای P-V از ساده سازیها به طور تقریبی بیان کرد و بر اساس این فرضها به چرخهای موسوم به چرخه اُتو رسید و آن را در صفحهٔ رسم کرد. این فرضها عبارتاند از:
1- مادهٔ کاری (مادهای که در ماشین به عنوان دستگاه درنظر گرفته میشود) هواست و مانند یک گاز آرمانی با ظرفیت گرمایی ثابت رفتار میکند.
2- تمام فرایندها ایستاوارند.
3- هیچ اصطکاک یا تلاطمی وجود ندارد.
4- هیچ اتلاف گرمایی از طریق دیوارههای محفظهٔ احتراق نداریم.
5- فرایندها برگشت پذیرند. (یعنی در پایان هر فرایند، هم دستگاه و هم محیط می توانند دقیقاً به حالت های اولیهٔ خود بازگردانده شوند)
چرخه اتو در شکل زیر رسم شده است که مراحل آن عبارت اند از:
$5\to 1$ مکش ایستاوار در فشار ثابت جو.
$1\to 2$ تراکم بی درروی ایستاوار.
$2\to 3$ افزایش ایستاوار دما و فشار در حجم ثابت.
$3\to 4$ انبساط بی درروی ایستاوار.
$4\to 1$ کاهش ایستاوار دما و فشار در حجم ثابت.
$1\to 5$ خروج ایستاوار در فشار ثابت جو.
بازدۀ ماشین گرمایی: هدف از ساخت هر ماشین آن است که انرژی گرفته شده را تا بیشترین مقدا ر ممکن به انرژی مفید خروجی تبدیل کند. بنابراین بازدهٔ هر ماشین به صورت زیر تعریف میشود:
در ماشینهای گرمایی، انرژی مفید خروجی همان کار $\left| W \right|$ و انرژی داده شده به ماشین، همان گرمای ${Q_H}$ است. بنابراین، برای بازده هر ماشین گرمایی داریم:
بازدهٔ ماشینهای درونسوز بنزینی در حدود 20 تا 30 درصد، بازده ماشینهای درونسوز دیزلی در حدود 30 تا 35 درصد، و بازده ماشینهای برونسوز بخار 30 تا 40 درصد است.
فناوری و کاربرد: نسبت تراکم ماشینها
محاسبه نشان میدهد که با بالا بردن نسبت تراکم r میتوان به بازدهٔ بیشتری برای ماشینهای درونسوز بنزینی رسید. اما در عمل ممکن نیست به هر نسبت تراکمی دست یافت؛ مثلاً نسبت تراکم ماشینهای بنزینی معمولی تا حدود 10 و ماشینهای بنزینی مدرن تا حدود 14 است. در نسبتهای تراکم بالا، مخلوط سوخت و هوا در ضربهٔ تراکم، چنان گرم میشود که پیش از جرقه زدن شمع، آتش میگیرد. این مشکل را رودلف کریستین کارل دیزل مخترع و مهندس آلمانی با طراحی ماشینی در پایان سدهٔ نوزدهم تا حدودی برطرف کرد. در ماشین دیزل به جای مخلوط سوخت و هوا، خوِد هوا به طور بیدررو متراکم و در نتیجه داغ میشود تا اینکه بتواند گازوئیلی را که به داخل استوانه پاشیده میشود محترق کند (در این ماشین، شمع وجود ندارد). میزان پاشیده شدن گازوئیل طوری تنظیم میشود که احتراق تقریباً به طور هم فشار پیستون را به سمت پایین هل میدهد. بقیهٔ چرخه، یعنی ضربهٔ قدرت، خروج گاز از دریچه و ضربهٔ خروج دقیقاً مانند ماشین بنزینی است. در تحلیل ماشین دیزل نیز مانند ماشین بنزینی از اثرهای اتلافی چشم پوشی میشود. نسبت تراکم برای ماشینهای دیزل را حتی تا مقدار 23 نیز میتوان افزایش داد. شکل 5-20 طرحی از سیلندر و اجزای جانبی این ماشین را نشان میدهد.
7-5 قانون دوم ترمودینامیک (به بیان ماشین گرمایی)
در بخش قبل و در بررسی ماشینهای گرمایی، دیدیم که همهٔ این ماشینها با دو منبع گرما که دمای متفاوتی دارند، کار میکنند. در این ماشینها، دستگاه گرمای ${Q_H}$ را از یک منبع دما بالا میگیرد، مقداری از آن را به کار ($\left| W \right|$) تبدیل میکند و بقیه (${Q_L}$) را به یک منبع دماپایین میدهد. اکنون این پرسش مطرح میشود که آیا امکان تبدیل همهٔ گرمای دریافتی به کار وجود دارد؟ در واقع، هیچ یک از ماشینهای گرمایی که تاکنون ساخته شدهاند، نمیتوانند همهٔ گرمای دریافتی را به کار تبدیل کنند. به عبارت دیگر: «ممکن نیست دستگاه چرخهای را بپیماید که در طی آن مقداری گرما را از منبع دما بالا جذب و تمام آن را به کار تبدیل کند.»
عبارت بالا، قانون دوم ترمودینامیک به بیان ماشین گرمایی نامیده میشود؛ یعنی ممکن نیست بازدهٔ یک ماشین گرمایی برابر یک (100 درصد) شود. توجه داریم که اگر در چرخهٔ یک ماشین گرمایی، تمام گرمای گرفته شده از منبع دمابالا به کار تبدیل شود، قانون اوّل ترمودینامیک نقض نمیشود؛ اما براساس قانون دوم ترمودینامیک امکان طراحی و ساخت ماشینی که این تبدیل را انجام دهد، غیرممکن است.
خوب است بدانید: ترمودینامیک و فوتوسنتز
ترمودینامیک در پدیدههای زیستی نیز کاربرد دارد. یکی از این کاربردها فوتوسنتز است. در فوتوسنتز، گیاهان درصد کوچکی از انرژی نور خورشید را که در بخشی از گسترهٔ نور مرئی واقع است به دام میاندازند و به انرژی شیمیایی تبدیل میکنند. در واقع فوتوسنتز شامل دو مرحله است. در مرحلهٔ نخست، انرژیِ نور خورشید به دام میافتد و صرف تولید مولکولهایی میشود که این انرژی را به طور موقت ذخیره میکنند و در مرحلهٔ دوم انرژی شیمیایی ذخیره شده، صرف ساختن ترکیبهای آلی میشود. شکل (الف) مرحلهٔ نخست فرایند فوتوسنتز را به گونهای مشابه آنچه که یک ماشین گرمایی انجام میدهد نشان میدهد. انرژی حاصل از خورشید وارد گیاه میشود.
سبزدیسه (کلروپلاست) گیاه (شکل-ب) همچون یک ماشین گرمایی این انرژی را میگیرد و کار $\left| W \right|$ را انجام میدهد و در همین زمان گرمای ${Q_L}$ را به محیط، که همان هوا و خاک اطراف گیاه است، میدهد. در ماشینهای گرمایی، ماشین کار را مثلاً به صورت چرخاندن یک چرخ انجام میدهد. در فوتوسنتز، سبزدیسه که شامل رنگیزههای سبزینه (کلروفیل) است، کار را به صورت انرژی شیمیایی در مولکولهای خاصی مانند ATP (آدنوزین تری فسفات) ذخیره میکند. این انرژی شیمیایی میتواند بعداً وقتی جانوری گیاه را میخورد به صورت کار مکانیکی درآید.
8-5 قانون دوم ترمودینامیک و یخچالها
گرما همواره از جسمی با دمای بالا به جسمی با دمای پایین منتقل میشود، ولی عکس این عمل به طور خود به خود رخ نمیدهد. مثلاً اگر یک لیوان آب سرد در اتاق قرار داشته باشد گرما به طور خودبه خود از آب به اتاق منتقل نمیشود و ممکن نیست آب به طور خودبه خود سردتر شود. به عبارت دیگر: «ممکن نیست گرما به طور خودبه خود از جسم با دمای پایینتر به جسم با دمای بالاتر منتقل شود.»
به این گزاره، قانون دوم ترمودینامیک به بیان یخچالی میگویند. اما با انجام کار میتوان گرما را از جسمی سرد به جسمی گرم منتقل کرد. (میتوان نشان داد دو بیان ماشین گرمایی و یخچالی قانون دوم ترمودینامیک معادل یکدیگرند؛ یعنی اگر قانون دوم ترمودینامیک به بیان یخچالی نقض شود، قانون دوم ترمودینامیک به بیان ماشین گرمایی نیز نقض میشود و بر عکس.)
یخچال وسیلهای است که این عمل را انجام میدهد و با استفاده از کار، گرما را از منبعی دماپایین میگیرد و به منبعی دمابالا میدهد. در یخچال نیز مانند ماشینهای گرمایی یک چرخهٔ ترمودینامیکی طی میشود. در این چرخهٔ محیط روی دستگاه (مادهٔ کاری) کار W را انجام میدهد. دستگاه گرمای ${Q_L}$ را از منبع دما پایین میگیرد و گرمای $\left| {{Q_H}} \right|$ را به منبع دمابالا میدهد. به عبارت دیگر، یخچال وارون یک ماشین گرمایی عمل میکند. طرز کار یخچال به طور طرحوار در شکل 5-21 نشان داده شده است.
یخچالهای خانگی، کولرهای گازی و تلمبههای گرمایی نمونههایی از یخچالها هستند؛ مثلاً در یخچال خانگی انرژی الکتریکی سبب انجام کار $W$ توسط متراکم ساز (کمپرسو) میشود، گرمای $Q_L$ از هوا و مواد داخل یخچال گرفته میشود و گرمای $\left| {{Q_H}} \right|$ به هوای بیرون یخچال داده میشود (شکل 5-22).
طرز کار کولر گازی نیز شبیه یخچال خانگی است، با این تفاوت که در کولر گازی منبع دما پایین، هوا و اجسام داخل اتاق و منبع دما بالا، هوای بیرون اتاق است.
پرسشها و مسئلههای فصل 5 (صفحهٔ 148 تا 149 کتاب درسی)
1- ظرفی شامل 3/0kg آب است. با هم زدن آب داخل ظرف، 40kJ کار روی آن انجام میدهیم و در این مدت 31kJ 31 گرما از ظرف به بیرون منتقل میشود. انرژی درونی آب چقدر تغییر میکند؟
طبق قانون اول ترمودینامیک داریم؟
$\Delta U=?$ ، $Q=-31KJ$ ، $W=40kJ$
$\Delta U=Q+W=-31+40=9kJ\to \Delta U=9kJ$
2- الف) در فرایند هم حجم چگونه میتوان فشار گاز را افزایش یا کاهش داد؟
در فرایند هم حجم با افزایش دما، فشار گاز اکسیژن و با کاهش دما، فشار گاز کاهش مییابد.
ب) در فرایند هم فشار چگونه میتوان حجم گاز را افزایش یا کاهش داد؟
در فرایند هم فشار اگر دما افزایش یابد، حجم گاز افزایش و اگر دما کاهش یابد، حجم گاز کاهش مییابد.
3- ته یک سرنگ را که دستهٔ آن میتواند آزادانه حرکت کند مسدود میکنیم، آن را درون مقداری آب میاندازیم و آب را به تدریج گرم میکنیم. هوای درون سرنگ چه فرایندی را طی میکند؟
ففرایند انبساط هم فشار
4- نمودار P-Vی گازی رقیق در شکل روبه رو نشان داده شده است. در این فرایند با فرض آنکه انرژی درونی در نقطهٔ (1) برابر 456J و در نقطهٔ (2) برابر 912J اشد، چقدر گرما مبادله شده است؟ آیا گاز گرما گرفته است یا از دست داده است؟
با توجه به انرژی درونی اولیه و نهایی، تغییر انرژی درونی فرایند برابر است با:
${{U}_{2}}=912J\to \Delta U={{U}_{2}}-{{U}_{1}}=912-456=456J\to \Delta U=456$ ، ${{U}_{1}}=456J$
برای محاسبه گرمای مبادله شده ابتدا باید کار انجام شده در این فرایند را محاسبه کنیم که برابر است با مساحت سطح زیر نمودار P-V:
$ = \frac{{(2 + 3) \times {{10}^5} \times (3 - 1) \times {{10}^{ - 3}}}}{2} = \frac{{5 \times {{10}^5} \times 2 \times {{10}^{ - 3}}}}{2} = 500 \times {10^2} = 500J \to \left| W \right| = 500J$
چون در این فرایند گاز منبسط شده علامت کار منفی است: W=-500J
حال با دانستن تغییر انرژی درونی و کار انجام شده و با استفاده از قانون اول ترمودینامیک، گرمای مبادله شده برابر است با:
$Q=\Delta U-W=456-(-500)=456+500=956J\to Q=956J$
علامت Q مثبت است بنابراین گاز در این فرایند گرما گرفته است.
5- گازی مطابق شکل، از طریق مسیر abc از حالت a به c، میرود. گاز در این مسیر، 90 ژول گرما میگیرد و 70 ژول کار انجام میدهد.
الف) تغییر انرژی درونی گاز در مسیر abc چقدر است؟
$W=-70J\to \Delta U=Q+W=90-70=20J\to \Delta U=20J$ ، $Q=+90J$
ب) اگر برای رسیدن به حالت c فرایند از مسیر abc انجام شود، کار انجام شده توسط گاز در مقایسه با مسیر abc تر است یا کمتر؟ گرمای داده شده به گاز بیشتر است یا کمتر؟
چون مساحت سطح زیر نمودار در مسیر adc کمتر است، قدر مطلق کار نیز در این مسیر کمتر است. نقاط ابتدا و انتهای هر دو مسیر مشترک است پس تغییر انرژی درونی هر دو مسیر یکسان است؛ از طرفی چون گاز در مسیر adc کار کمتری را انجام داده است، گرمای کمتری نیز دریافت کرده است.
پ) اگر گاز را از مسیر خمیده از حالت c به حالت a برگردانیم، چقدر باید از آن انرژی بگیریم؟
انرژی که از گاز در مسیر c به a گرفته میشود برابر با تغییر انرژی درونی گاز در این مسیر است، بنابراین:
$\Delta {{U}_{a\to c}}=20J\to \Delta {{U}_{c\to a}}=-20J$
6- یک مکعب آلومینیمی توپُر به ضلع 20/0cm از از $50/0{}^\circ C$ تا $150/0{}^\circ C$ در فشار متعارف جو $(1/01\times {{10}^{5}}Pa)$ گرم میشود. کار انجام شده توسط مکعب و تغییر انرژی درونی آن را محاسبه کنید.
فشار ثابت است $P=1/01\times {{10}^{5}}Pa$$\Delta T=150-50=100K$${{V}_{1}}=20\times 20\times 20=8000c{{m}^{3}}$
${{p}_{AL}}=2/7\times {{10}^{3}}\frac{kg}{{{m}^{3}}}$${{c}_{AL}}=900\frac{J}{mol.K}$${{\alpha }_{AL}}=23\times {{10}^{-6}}\frac{1}{K}$
ابتدا تغییر حجم جسم را از رابطه انبساط حجمی جامدها محاسبه میکنیم:
$\Delta V={{V}_{1}}(3a)\Delta T=8000\times 3\times 23\times {{10}^{-6}}\times 100=55/2c{{m}^{3}}\to \Delta V=55/2\times {{10}^{-6}}{{m}^{3}}$
کار انجام شده در فرایند هم فشار برابر است با:
کار انجام شده توسط مکعب $W=-P\Delta V=-1/01\times {{10}^{5}}\times 55/2\times {{10}^{-6}}=-5/57J\to W=-5/57J\to $
برای محاسبه تغییر انرژی درونی مکعب با استفاده از قانون اول ترمودینامیک ($\Delta U=Q+W$) به گرمای داده شده به مکعب نیاز داریم:
$\left\{ \begin{align}
& Q=m{{c}_{A1}}\Delta \theta =21/6\times 900\times 100=194/4\times {{10}^{4}}J\to Q=1/94\times {{10}^{6}}J \\
& m=pV=2/7\times {{10}^{3}}\times 8000\times {{10}^{-6}}=21/6kg \\
\end{align} \right.$
کار انجام شده توسط مکعب نسبت به گرمای داه شده به آن بسیار ناچیز است؛ بنابراین با صرفنظر کردن از کار انجام شده توسط مکعب داریم:
$\Delta U=Q+W\underrightarrow{^{W=0}}\Delta U=Q=1/94\times {{10}^{6}}J$
نتیجه: در جامدها تقریباً همهی گرمای داده شده به جسم صرف تغییر انرژی درونی آن میشود.
7- مطابق شکل زیر، حجم گازی آرمانی طی سه فرایند هم فشار، هم دما و بی دررو از V1 به حجم بزرگ تر V2 میرسد.
الف) اندازهٔ کار انجام شده توسط گاز را در این سه فرایند مقایسه کنید.
باتوجه به مساحت سطح زیر نمودار در سه فرایند داریم:
هم فشار: Isobaric / هم دما: Isothermal / بی دررو: Adiabatic
$\left| {{W}_{\text{Isobaric}}} \right|>\left| {{W}_{\text{Isothermal}}} \right|>|{{W}_{\text{Adiabatic}}}|$
ب) دمای نهایی را در این فرایندها مقایسه کنید.
مطابق نمودار T3>T2>T1 بنابراین:
هم فشار: Isobaric / هم دما: Isothermal / بی دررو: Adiabatic
${{T}_{f\text{Isobaric}}}>{{T}_{f\text{Isothermal}}}>{{T}_{\text{Adiabatic}}}$
پ) گرمای داده شده به گاز را در این فرایندها مقایسه کنید.
در فرایند بی در رو=QWithout
در فرایند هم دما داریم:
فرایند انبساط: Expansion / هم دما: Isothermal
$\left. \begin{align}
& \Delta U=0\Rightarrow Q=-W \\
& \text{Expansion}\Rightarrow W<0 \\
\end{align} \right\}\Rightarrow {{Q}_{\text{Isothermal}}}>0$
در فرایند هم فشار داریم:
هم فشار: Isobaric / هم دما: Isothermal / بی دررو: Adiabatic
${{Q}_{\text{Isobaric}}}n{{C}_{p}}\Delta T=\frac{{{C}_{P}}}{R}nR\Delta T=\frac{{{C}_{P}}}{R}P\Delta V=\frac{{{C}_{P}}}{R}|W_\text{Isobaric}|$
$\left. \begin{array}{*{35}{l}}
\text{ }\!\!~\!\!\text{ } & {{Q}_{\text{Isobaric}}}=\frac{{{C}_{P}}}{R}|W_\text{Isobaric}|\text{ }~\text{ } \\
\text{ }\!\!~\!\!\text{ } & {{Q}_{\text{Isothermal}}}=|{{W}_{\text{Isothermal}}}|\text{ }~\text{ } \\
\text{ }\!\!~\!\!\text{ } & {} \\
\end{array} \right\}\xrightarrow[\frac{{{C}_{P}}}{R}>1]{|{{W}_{\text{Isobaric}}}|>|{{W}_{\text{Isobaric}}}|}{{Q}_{\text{Isobaric}}}>{{Q}_{\text{Isothermal}}}>{{Q}_{\text{Adiabatic}}}=0$
8- برای چرخهٔ گازی که نمودار P-V ی آن در اینجا نشان داده شده است، $\Delta U$ گاز، W و Q مثبت است یا منفی، و یا برابر صفر است؟
تغییر انرژی درونی در یک چرخه صفر است بنابراین $\Delta U=0$
چرخه پادساعتگرد است بنابراین کار انجام شده در چرخه مثبت است (W مثبت)
$:\Delta U=-\to Q+W=0\to Q=-W\to Q<0$ در چرخه
9- شکل زیر چرخهای را نشان می دهد که یک گاز طی کرده است.
الف) تعیین کنید که گاز در این چرخه گرما گرفته یا از دست داده است؟
گاز گرما گرفته است.$\to W<0\xrightarrow{Q=-W}Q>0\to$ چرخه ساعتگرد
ب) اگر مقدار گرمای مبادله شده در این چرخه 400J باشد، کار انجام شده روی گاز چقدر است؟
$Q=-W\to W=-Q=-400\to W=-400J$ ،درچرخه، Q=400J
10- یک گاز کامل دو اتمی چرخهٔ نشان داده شده در شکل روبه رو را می پیماید. دمای گاز در حالت (1) برابر 200K است.
الف) دما در سه نقطهٔ دیگر چقدر است؟
فرآیند 1 به 2 حجم: $\frac{{{P_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{P_2}{V_2}}}{{{T_2}}} \to \frac{{{P_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{P_2}}}{{{T_2}}} \to \frac{1}{{200}} = \frac{3}{{{T_2}}} \to {T_2} = 600K$
فرآیند 2 به 3 همفشار: $\frac{{{P_2}{V_2}}}{{{T_2}}} = \frac{{{P_3}{V_3}}}{{{T_3}}} \to \frac{{{T_2}}}{{{T_2}}} = \frac{{{V_3}}}{{{T_3}}} \to \frac{{100}}{{600}} = \frac{{300}}{{{T_3}}} \to {T_3} = 1800K$
فرآیند 3 به 4 همحجم: $\frac{{{P_3}{V_3}}}{{{T_3}}} = \frac{{{P_4}{V_4}}}{{{T_4}}} \to \frac{{{P_3}}}{{{T_4}}} = \frac{{{P_4}}}{{{T_4}}} \to \frac{3}{{1800}} = \frac{1}{{{T_4}}} \to {T_4} = 600K$
ب) کار انجام شده درچرخه چقدر است؟
$|W|=S=(3-1)\times {{10}^{5}}\times (300-100)\times {{10}^{-3}}=2\times {{10}^{5}}\times 200\times {{10}^{-3}}=400\times {{10}^{2}}J=4\times {{10}^{4}}J$
$\to W=-4\times {{10}^{4}}J$ چرخه ساعتگرد
پ) در چه فرایندهایی گاز گرما گرفته است؟
با توجه به رابطههای $Q=n{{C}_{V}}\Delta T$ هم حجم و $Q=n{{C}_{P}}\Delta T$ هم فشار، در فرایندهای هم حجم وحجم فشار گرمای مبادله شده با افزایش دما مثبت و با کاهش دما منفی است بنابراین:
فرآیند 1 به 2: $Q \gt 0$ گاز گرما گرفته است.
فرآیند 2 به 3: $Q \gt 0$ گاز گرما گرفته است.
ت) در چه فرایندهایی گاز گرما از دست داده است؟
فرآیند 4 به 1: $Q \lt 0$ گاز گرما از دست داده است.
فرآیند 3 به 4: $Q \lt 0$ گاز گرما از دست داده است.
11- گاز داخل یک استوانه، چرخهای مطابق شکل روبه رو را میپیماید. گرمای مبادله شده در این چرخه چند ژول است؟
با توجه به اینکه در یک چرخه $Q=-W$ برای محاسبه گرمای مبادله شده در یک چرخه باید کار انجام شده در چرخه را محاسبه کنیم:
چرخه: cycle / مثلث: Triangle
$\begin{array}{*{35}{l}}
{} & |{{W}_{\text{cycle}}}|={{S}_{\text{Triangle}}}=\frac{(30-10)\times {{10}^{5}}\times (4-1)\times {{10}^{-3}}}{2}=\frac{20\times {{10}^{5}}\times 3\times {{10}^{-3}}}{2}=3000J \\
{} & {} \\
\end{array}$
$W=-300J$ چرخه ساعتگرد
$Q=-W-(-3000)=+3000J\to Q=3000J$
12- دستگاهی متشکل از 0/32mol گاز کامل تک اتمی حجمی برابر 2/2L را در فشار 2/4atm اشغال کرده است. این دستگاه چرخهای مطابق شکل را میپیماید که در آن فرایند CA فرایندی هم دما است. الف) دما در نقاط C و A، B چقدر است؟
$R\simeq 8\frac{J}{moL.K}$ ، $n=0/32moL$
$:{{P}_{A}}{{V}_{A}}=nR{{T}_{A}}\to {{T}_{A}}=\frac{{{P}_{A}}{{V}_{A}}}{nR}=\frac{2/4\times {{10}^{5}}\times 2/2\times {{10}^{-3}}}{0/32\times 8}=206/25K$ در نقطه A
$\frac{{{P_A}{V_A}}}{{{T_A}}} = \frac{{{P_B}{V_B}}}{{{T_B}}} \to \frac{{{V_A}}}{{{T_A}}} = \frac{{{V_B}}}{{{T_B}}} \to \frac{{2/2}}{{206/25}} = \frac{{4/4}}{{{T_B}}} \to $ فرایند A به B هم فشار
${T_B} = \frac{{4/4 \times 206/25}}{{2/2}} = 412/5K \to {T_B} = 412/5K$
$\frac{{{P_B}{V_B}}}{{{T_B}}} = \frac{{{P_C}{V_C}}}{{{T_C}}} \to \frac{{{P_B}}}{{{T_B}}} = \frac{{{P_C}}}{{{T_C}}} \to \frac{{2/4}}{{412/5}} = \frac{{1/4}}{{{T_C}}} \to $ فرایند B به C هم حجم
${T_C} = \frac{{412/5 \times 1/2}}{{2/4}} = 206/25K \to {T_C} = 206/25K$
ب) $\Delta U$ را برای هریک از سه فرایند چرخه به دست آورید.
تغییر انرژی درونی در همه فرایندها از رابطه $\Delta U=n{{C}_{V}}\Delta T$ به دست میآید:
${{C}_{V}}=\frac{3}{2}R$ ، $n=0/32mol$
$\Delta {{U}_{AB}}=n{{C}_{V}}({{T}_{B}}-{{T}_{A}})=0/32\times \frac{3}{2}\times 8\times (412/5-206/25)=792J\to \Delta {{U}_{AB}}=792J$
$\Delta {{U}_{BC}}=n{{C}_{V}}({{T}_{C}}-{{T}_{B}})=0/32\times \frac{3}{2}\times 8\times (206/25-412/5)=792J\to \Delta {{U}_{BC}}=-792J$
$\to \Delta {{U}_{CA}}=0$ فرایند CA همدما است.
16- یک ماشین گرمایی آرمانی در هر چرخه 100/0J گرما از منبع دما بالا میگیرد و 60/0J گرما به منبع دما پایین میدهد و بقیهٔ آن تبدیل به کار میشود.
الف) بازده این ماشین چقدر است؟
$P=?$ ، $\eta =?$ ، $t=0/5s$ ، ${{Q}_{L}}=-60J$ ، ${{Q}_{H}}=100J$
$\eta =1-\frac{|QL|}{QH}=1-\frac{60}{100}=1-0/6=0/4\to \eta =40%$
ب) اگر هر چرخه 0/500s طول بکشد، توان خروجی این ماشین چقدر است؟
$P=\frac{|W|}{t}=\frac{40}{0/5}=80W\to P=80W$ ، $|W|={{Q}_{H}}-|{{Q}_{L}}|=100-60=40J$
14- یک ماشین گرمایی درون سوز در هر چرخه 8/00kJ گرما از سوزاندن سوخت دریافت میکند و 2/00kJ کار تحویل میدهد. گرمای حاصل از سوخت $(5/0\times {{10}^{4}}J/g)$ است و ماشین در هر ثانیه 40/0 چرخه را میپیماید. کمیتهای زیر را حساب کنید.
الف) بازده ماشین.
گرمای سوختن $=5\times {{10}^{4}}\frac{J}{g}$ ، $|W|=2kJ=2\times {{10}^{3}}J$ ، ${{Q}_{H}}=8kJ=8\times {{10}^{3}}J$ هرثانیه 40 چرخه،
$\eta =\frac{|W|}{{{Q}_{H}}}=\frac{2\times {{10}^{3}}}{8\times {{10}^{3}}}=0/25\to \eta =25%$
ب) با فرض آرمانی بودن ماشین، گرمای تلف شده در هرچرخه.
$|{{Q}_{L}}|={{Q}_{H}}-|W|=8\times {{10}^{3}}-2\times {{10}^{3}}=6\times {{10}^{3}}J\to |{{Q}_{L}}|=6\times {{10}^{3}}J$
پ) سوخت مصرف شده در هرچرخه.
$\frac{1}{X}=\frac{5\times {{10}^{4}}}{8\times {{10}^{3}}}\to X=\frac{8\times {{10}^{3}}}{5\times {{10}^{4}}}=0/16g\to X=0/16g$
ت) توان ماشین.
$P=\frac{|W|}{t}\to P=\frac{8\times {{10}^{4}}}{1}=8\times {{10}^{4}}W$ ، $t=1S$ ، $|W|=40\times 2\times {{10}^{3}}=8\times {{10}^{4}}$